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交集与补集(交集与补集符号)

数学是一门理科,有需要记忆的基础知识点,但是不是死记硬背,而是需要在充分理解知识点的基础上自然而然地就记住了。死记硬背不但浪费时间,而且容易遗忘和混淆,运用起来更是费力;相反地,充分理解了知识点后,其实不需要花时间刻意去背,顺水推舟就记住了,而且根深蒂固难以忘记,运用起来也得心应手。一个是费力不讨好,一个是事半功倍,大家更喜欢哪一个应该不言而喻了吧?

应一些同学的要求,复习一下高考数学的基础知识点,不妨从最简单的集合开始,再次强调,重在充分理解。

一、集合的基本概念及理解

1、定义无需多说,集合是指定对象的总体,集合的元素就是集合这个总体中的每个对象。

注意反对死记硬背不是喊你什么都不背,常用集合的符号记法必须记住。

2、元素与集合的关系只有两种:①元素属于集合,②元素不属于集合。注意元素与集合的关系是单向的,一定不要说成集合属于或不属于元素了。

3、以集合中的元素个数为分类标准,集合分为有限集、无限集、空集。注意不含任何元素的集合为空集,即元素个数为零的集合为空集。

4、关于集合中元素的3个特性,确定性、互异性、无序性,其中确定性、无序性理解了即可,特别注意

互异性

,集合中的所有元素互不相同,高考中一般会以

含参

数的数集形式来考:

考查方式①:两个含参数的式子,属于给出的数集,数集的元素数字是全部确定的,求参数。

考查方式②:给出的一个、或两个数字,属于给出的数集,数集中有两个或以上元素含参数,求参数。

这两类都需要

先分类讨论解出参数,然后一定要记得检验集合中元素的互异性

,即互不相等,舍去出现元素相等的参数值。

5、集合的表示法一方面主要是用来规范书写的

格式

,对于求参数的取值范围、解不等式、函数的定义域和值域等,最后的结果一定要写成集合或区间的形式。

另一方面要能明白

集合中元素表示的意义

,这样才能抓住

集合的本质

,否则解题时就会出错,甚至于毫无头绪。

比如偶数集、奇数集元素变形一下就有不同的表示形式,但是只要明白集合中元素表示的意义是偶数、奇数,就清楚不管它们怎样变形,它们的本质始终偶数集、奇数集。再比如除以3余1的整数集、或者除以4余1的整数集,也都有不同的元素表示形式,变形立知其本质一样。像实数集同样可以换着不同的花样表示。

变化的是形式,不变的是本质。

大家再理解一下下面这些

集合中元素表示的意义

①表示方程f(x)=0的解集。

②表示三元不定方程3x+4y+12z=2020的非负整数解集。

③表示二元方程组f(x,y)=0且g(x,y)=0的解集。

④表示二元不定方程1/x+1/y=3/100的非负整数解集。

⑤表示不等式f(x)≥0的解集。

⑥表示抛物线y2=2px及其上方(y轴正方向)区域。

⑦需要分类讨论:

情况一、当m<0时,表示圆心(2,0),半径∣m∣的圆面;

情况二、当m=0时,表示点(2,0)为元素的集合;

情况三、当0<m<1/2时,表示空集;

情况四、当m=1/2时,表示圆心(2,0),半径1/2的圆;

情况五、当m>1/2时,表示圆心(2,0),半径√(2m)/2、m之间的圆环。

⑧表示椭圆x2/a2+y2/b2=1及其内部区域。

⑨表示函数y=f(x)的定义域。

⑩表示函数y=f(x)的值域。

?表示函数y=f(x)与y=g(x)的图像的交点集。

二、集合间的关系的理解与补充讲解内容的理解

(一)集合间的关系

有子集(包含于、包含)、真子集(真包含于、真包含)、相等。只需用3句话简单理解一下即可:

1、集合A是B的子集:A的元素全在B中。

2、集合A是B的真子集:A的元素全在B中,且B中含A的元素之外的元素。

3、集合A等于B:A、B的元素全都相同。

另外,注意记住一点特殊规定,即空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

(二)补充讲解

不要死记硬背,注意理解、掌握研究问题的方法。

含n个元素的集合,有2^n个子集,2^n-1个真子集,2^n-1个非空子集,2^n-2个非空真子集。

首先,计算子集的个数。

方法一、

分步计数乘法原理

对于这n个元素,每个元素都有属于子集、不属于子集两种情况,依次每步确定这n个元素的其中一个元素是否属于子集,根据分步计数乘法原理,于是子集的情况有2^n种,即它有2^n个子集。

方法二、

分类计数加法原理

+

二项式定理

含n个元素的集合它的子集的元素的个数有0、1、2、…、n这n+1类情况。

子集的元素的个数为0的子集个数:从n个元素中取0个元素,即不取,子集个数组合数Cn0。

子集的元素的个数为1的子集个数:从n个元素中取1个元素,子集个数组合数Cn1。

子集的元素的个数为k的子集个数:从n个元素中取k个元素,子集个数组合数Cnk。

根据分类计数加法原理,子集的元素的个数为0、1、2、…、n这n+1类情况的每一类情况子集个数相加,再由二项式定理,即得有2^n个子集。

然后,计算真子集、非空子集、非空真子集的个数。

排除法

上面已经求得子集个数,对于真子集,子集排除含n个元素的子集(等于原集合);对于非空子集,子集排除空集;对于非空真子集,排除上述两个。

三、集合的运算及其性质,同样只需理解

(一)集合的交、并、补运算及其性质的理解

交、并、补运算也只需3句话简单理解即可。

1、交集取

共同部分

2、并集为

全部,合并消重

3、补集为全集

排除

参与运算的子集

剩下

的部分。

对于集合的运算性质,全部理解了即可,注意一下摩根律(有时候可以使运算简洁),和后面补充的交集、并集的两个简单性质(也不需要即,理解即可,主要在求参数的时候用到)。

对于集合的简单运算性质的理解(一个也不需要记):

①A、B的交集是A的子集,也是B的子集:交集取共同部分,A、B的共同部分当然就既包含于A,也包含于B了。

②A交A等于A:共同部分就是它们本身。A交空等于空:没有共同部分。

③A交B等于B交A:多个集合相交也一样,共同部分始终一样,交换顺序无影响。

④A、B是A、B的并集的子集:A、B的并集是A、B的全部合并消重,当然包含A、B了。

⑤A并A等于A:它们的全部就是它们本身。A并不等于A:它们的全部就是A了。

⑥全集中一个集合的补集的补集是它本身:全集中一个集合的补集,即全集排除这个集合剩下的部分,再全集来排除这部分,这不就排除回去了,转个圈回到起点。

⑦全集中全集的补集为空集:全部排除完,当然就是空集了。

⑧一个集合与全集中它的补集的交集是空集:全集排除这个集合剩下的部分,再交这个集合,当然就没共同部分了。

⑨一个集合与全集中它的补集的并集是全集:全集排除这个集合剩下的部分,再与这个集合合并,把排除掉的再并回来,它们的全部当然又变回全集了,转个圈回到起点。

常用的两个性质:

A交B等于A,等价于A是B的子集。

A、B的共同部分是A,不言而喻。

A并B等于A,等价于B是A的子集。

A、B的全部是A,同样不言而喻。

这两个性质主要在求参数的时候用到,当然也不需要记,理解了遇到相应的题自然就能运用。

(二)补充讲解:

注意一下摩根律,有时候能够使得运算简洁一些。

1、

交集的补集=补集的并集

全集U中A、B的交集的补集,即全集U排除A、B的共同部分所剩下的部分。

全集U中A的补集,即全集U排除A剩下的部分,相对于排除A、B的共同部分,多排除了A、B的共同部分之外的A中的部分,但是注意并没有排除A、B的共同部分之外的B中的部分。

全集U中B的补集,即全集U排除B剩下的部分,相对于排除A、B的共同部分,多排除了A、B的共同部分之外的B中的部分,但是注意并没有排除A、B的共同部分之外的A中的部分。

于是,补集的并集就刚好把多排除的部分相互“互补”回来。

2、

并集的补集=补集的交集

全集U中A、B的并集的补集,即全集U排除A、B的全部所剩下的部分。

全集U中A的补集,即全集U排除A剩下的部分,相对于排除A、B的全部,少排除了B中有、A中没有的部分。

全集U中B的补集,即全集U排除B剩下的部分,相对于排除A、B的全部,少排除了A中有、B中没有的部分。

于是,补集的交集就刚好把少排除的部分,即B中有、A中没有的部分,和A中有、B中没有的部分,再排除掉。

(三)补充讲解二:

容斥原理

,集合的元素个数的关系。

A、B并集的元素个数=A的元素个数+B的元素个数-A、B交集的元素个数

本质就是合并消重

,A、B并集即A、B的全部合并消重,消重消的就是A、B的共同部分(交集)。A的元素个数+B的元素个数,就多加了一次共同部分的元素个数,减去即可。

四、注意高考数学中有时候集合可能仅仅作为形式和载体

如下的一道高考真题,和一道上海交通大学的自主招生试题,都是非常经典的好题。

他们都只是以集合作为外壳,核心是其它板块知识点、方法和中学基本数学思想的综合运用。当然大家首先需要一眼就明白集合所表示的意义是什么。

五、简单小结

集合的知识点大多数只需要充分理解一遍就足够了,上面基本上已经为大家详解地复习理解了一遍,一些注意点一定不要忽略,那常常是高考试题中可能出现的坑。

当然绝大多数次高考,集合只是放在第1或第2题,作为最简单的送分题(江苏附加题最后一题除外),稍微拐点忽略不计的弯的也就加进参数来考,只要你不忽略需要注意的特殊点,同样不可能出错,高考集合送分题必然秒杀万无一失。

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